Новости кафедры
(подписаться)
-
Научный спецсеминар "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление"
ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ
12 ноября 2018 г.
14 ч 35 мин
Ауд. 787
Евстигнеев Н.М., Рябков О.И.
(ФИЦ ИУ РАН)
О некоторых подходах к вычислительному доказательству существования периодических решений в системах обыкновенных дифференциальных уравнений
Доказательные вычисления (ДВ) - целенаправленные вычисления на ЭВМ, комбинируемые с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов и доказательству теорем. ДВ активно используются в теории графов, комбинаторике, математической логике и других дисциплинах, имеющих прямое отношение к вычислениям с применением конструктивных алгоритмов. Для проведения ДВ в таких областях как математический анализ и дифференциальные уравнения требуется применение интервальной арифметики.
В докладе будут рассмотрены различные подходы, позволяющие использовать доказательные вычисления для строгого обоснования существования периодических траекторий в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что на текущий момент существуют полностью обоснованные методы решения данной задачи, все они являются крайне неэффективными с вычислительной точки зрения. В ряде случаев алгоритмы имеют экспоненциальную зависимость от размерности системы, что делает их практически неприменимыми для систем размерности выше 6-7. Мы рассмотрим два основных инструмента, комбинация которых позволяет построить алгоритм с полиномиальной сложностью O(qn+p), где q – размерность системы, p – количество операций сложения и умножения, необходимых для вычисления правой части системы уравнений, а n – параметр алгоритма. Первый инструмент – это интервальные модели Тейлора, позволяющие резко снизить эффекты упаковки и экспоненциального разрастания оценок, присущие алгоритму Мура. Второй – индекс Конли, топологический инвариант, позволяющий доказывать существование циклов, не переходя к сечению Пуанкаре. В докладе будут представлены теоретические обоснования методов и примеры их применения к конкретной системе дифференциальных уравнений.