Специальный курс для студентов 3-4 курсов, читается в осеннем семестре.

Целью курса является ознакомление студентов с новыми современными методами и подходами к анализу сложных нелинейных хаотических систем дифференциальных уравнений, описывающих многочисленные процессы и явления, протекающие в физических, химических, биологических, экономических и социальных неравновесных системах.

В первую часть курса (осенний семестр) входит построение теории динамического хаоса в диссипативных и консервативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваются примеры физических, химических, биологических, экономических, технических и социальных хаотических динамических систем. Изучаются основы теории КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера) описания динамического хаоса в гамильтоновых системах. Вводятся понятия и изучаются бифуркации регулярных и сингулярных аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагаются основы универсальной ФШМ-теории (Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого) динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и рассматриваются примеры применения ФШМ-теории для описания сценариев перехода к динамическому хаосу в конкретных классических нелинейных системах, таких как системы Лоренца, Ресслера, Чуа, Магницкого, уравнения Дюффинга-Холмса, Матье, Крокета, Мэкки-Гласса и др.

Во вторую часть курса (весенний семестр) входит построение универсальной ФШМ-теории диффузионного или пространственно-временного хаоса в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются сценарии перехода к пространственно-временному хаосу в распределенных системах через каскады мягких бифуркаций двумерных инвариантных торов, анализируются конкретные примеры хаотических распределенных систем. Излагаются основы теории управления хаосом в сосредоточенных и распределенных нелинейных системах дифференциальных уравнений. Рассматриваются основы теории искусственных нейронных сетей и ее приложения к решению различных задач классификации, распознавания образов и представления многомерных нелинейных отображений.  

Лекции

Введение. Понятие динамического хаоса. Место и роль хаотических динамических систем. История их открытия и исследования.

Хаос в гамильтоновых системах. Диссипативные и консервативные системы. Гамильтоновы системы. Хаос в гамильтоновых системах. Отображение Пуанкаре. Уравнение Гамильтона-Якоби. Основы теории КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера). Эргодичность и перемешивание. Консервативные хаотические отображения. Отображение пекаря, отображение Арнольда.

Понятия регулярных и нерегулярных аттракторов диссипативных систем.

Устойчивые особые точки. Гиперболические, седловые и устойчивые особые точки. Инвариантные многообразия. Теоремы Гробмана-Хартмана и Адамара-Перрона. Теория устойчивости Ляпунова. Особые точки двумерных автономных систем. Особая точка типа ротор. Бифуркации асимптотически устойчивых особых точек (транскритическая, седло-узловая, типа вилки, Андронова-Хопфа).

Устойчивые предельные циклы. Гиперболические, седловые и орбитально устойчивые предельные циклы. Теория Флоке. Мультипликаторы и показатели Флоке. Бифуркации орбитально устойчивых предельных циклов (транскритическая, седло-узловая, типа вилки, Андронова-Хопфа и удвоения периода).

Устойчивые двумерные и многомерные инвариантные торы и их бифуркации.

Непериодические траектории. Теория характеристических показателей Ляпунова. Гиперболические, седловые и полуустойчивые непериодические траектории.

Нерегулярные аттракторы. Странные, хаотические, стохастические и гиперболические аттракторы. Сингулярные аттракторы.

Классический геометрический подход к объяснению явления динамического хаоса в диссипативных системах. Гиперболическая теория. Отображение подковы Смейла, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса. Фракталы. Фрактальная размерность. Теория гомоклинического хаоса.

Система Лоренца. Классический сценарий перехода к хаосу. Критика классического сценария. Сценарий перехода к хаосу через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций.

Единство сценариев перехода к хаосу. Универсальность механизмов перехода к хаосу в трехмерных (гидродинамическая система Лоренца, химическая система Ресслера, электротехническая система Чуа, макроэкономическая система Магницкого и др.) и многомерных автономных (система Рикитаки, комплексная система уравнений Лоренца), а также двумерных неавтономных системах с периодическими коэффициентами (уравнения Матье, Дюффинга-Холмса и др.).

Теория Фейгенбаума. Хаотическая динамика одномерных унимодальных отображений. Каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума. Аттрактор Фейгенбаума. Универсальность Фейгенбаума.

Теория Шарковского. За каскадом Фейгенбаума в одномерных унимодальных отображениях. Порядок Шарковского. Теорема Шарковского.

Теория Магницкого. Теория особой точки типа ротор двумерных неавтономных систем дифференциальных уравнений как мост между трехмерными автономными системами дифференциальных уравнений и одномерными унимодальными отображениями. За каскадом Шарковского. Теория гомоклинического каскада. Сингулярные циклы и сингулярные аттракторы нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Каскады бифуркаций инвариантных двумерных торов многомерных и бесконечномерных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Каскад удвоения периода, субгармонический и гомоклинический каскады. Сингулярные двумерные торы и сингулярные тороидальные аттракторы в фазовом пространстве систем с частными производными и с запаздывающим аргументом.

Каскад бифуркаций удвоения периода, субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов в уравнении Мэкки-Гласса.

Система уравнений реакция-диффузия. Термодинамическая ветвь. Бифуркации Андронова-Хопфа и Тьюринга.

Брюсселятор с диффузией. Условия возникновения бифуркаций Андронова-Хопфа и Тьюринга. Сценарии перехода к хаосу через субгармонические каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов и инвариантных двумерных торов.

Уравнение Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау). Сценарий перехода к динамическому хаосу в системе маломодового приближения через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов. Сценарий перехода к хаосу в фазовом пространстве уравнения через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых инвариантных двумерных торов. Бифуркационные диаграммы.

Система уравнений рыночной экономики Магницкого. ФШМ-сценарий перехода к динамическому хаосу в трехмерной системе для макропоказателей. Диффузионный хаос рыночной экономики в фазовом пространстве распределенной системы. Бифуркационные диаграммы. Анализ результатов и выводы.

Универсальность ФШМ-сценария перехода к динамическому и пространственно-временному хаосу в консервативных и диссипативных, автономных и неавтономных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и запаздывающим аргументом. Критика других классических сценариев перехода к хаосу (Ландау-Хопфа, Помо-Манневиля, Рюэля-Такенса).

Управление хаосом в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений и в системах итерированных нелинейных отображений. OGY-метод и метод Пирагаса. Метод Магницкого.

Области применения искусственных нейронных сетей. Сеть Хопфилда и правило обучения Хебба. Многослойный персептрон и методы его обучения. Бинарная сеть и нейросеть Фурье.

Основная литература