Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Кафедра нелинейных динамических систем
и процессов управления
 
   
Новости Сотрудники Учебная деятельность Научная деятельность Студенты и аспиранты О кафедре
   

Моделирование и анализ функционирования сложных систем

Кафедральный обязательный курс



Лекции читает Кривоножко Владимир Егорович

Обязательный кафедральный курс для студентов 5 курса (508 группа), читается в 9 семестре.
Лекции – 36 часов.
Экзамен в 9 семестре.
Автор программы: проф. Кривоножко В.Е.
Лектор 2013/14 уч.года: проф. Кривоножко В.Е.

 

Аннотация

Методология Анализа Среды Функционирования (АСФ) получила широкое распространение в мире в качестве инструмента для анализа сложных экономических и социальных систем. Начало данному подходу было положено в работах А. Чарнеса, В. Купера, Е. Роуда, Р. Бэнкера. На английском языке название данного подхода звучит как Data Envelopment Analysis (DEA). В настоящее время число публикаций по данной тематике в международных изданиях составляет несколько тысяч единиц.

В теории и практике человечества давно используются простые коэффициенты эффективности вида k=Y/X, где X – параметр затрат или ресурсов (входной параметр), Y – результат деятельности (выходной параметр). Таких показателей деятельности можно назвать десятки, если не сотни. К ним можно отнести, например, коэффициенты рентабельности в производстве и экономике, показатели ликвидности, коэффициенты надежности, различные варианты широко известного в физике и инженерном деле коэффициента полезного действия и многие другие.

Методология АСФ возникла как обобщение таких простых показателей деятельности на случай сложных многомерных систем, т.е. когда деятельность сложного объекта описывается набором входных параметров (x1,...,xm) и набором выходных параметров (y1,...,yr). Для корректности и содержательности такой постановки, а также для устранения субъективных факторов в моделях, рассматривается множество подобных сложных объектов. Тогда математически такой подход сведется к решению большого числа оптимизационных задач. Мера эффективности в методологии АСФ имеет наглядный экономический смысл. Она показывает на сколько процентов объекту следует сократить свои ресурсы и/или увеличить свой выпуск, чтобы объект стал эффективным, поскольку имеются другие объекты, реальные или гипотетические, функционирующие оптимально.

Подход методологии АСФ к анализу деятельности сложных систем оказался плодотворным и конструктивным. В настоящее время методология АСФ охватывает гораздо более широкий спектр понятий и возможностей, чем просто вычисление и анализ эффективности сложных объектов. Методология АСФ имеет глубокую связь с теоретической экономикой, системным анализом, многокритериальной оптимизацией. Она позволяет строить многомерное экономическое пространство, находить оптимальные пути развития в нем, вычислять важнейшие количественные и качественные характеристики поведения объектов, моделировать различные ситуации. При реализации данной методологии используются современные дос­тижения в области математического программирования, теории и методов решения задач опти­мизации большой размерности, а также компьютерного моделирования.

 

Содержание курса

Лекции, 9 семестр

1. Основные понятия в теории анализа деятельности сложных систем

Для того, чтобы постановка задачи по определению эффективности для сложных многомерных объектов была корректной и содержательной, ее необходимо доопределить. Для этого рассматривается множество из n наблюдаемых производственных объектов (ПО), деятельность которых необходимо оценить. Тогда определение меры эффективности сведется к решению нелинейной оптимизационной задачи с нелинейными ограничениями. Такие задачи необходимо решать для каждого производственного объекта. Доказывается, что такие задачи обладают одним замечательным свойством – мера эффективности не зависит от выбора единиц измерения производственных параметров, при условии, что эти единицы измерения совпадают для всех производственных объектов. Однако нелинейные задачи достаточно сложны для решения. Показывается сведение каждой нелинейной задачи к паре двойственных линейных задач.

2. Модели с постоянным эффектом масштаба

В предыдущем разделе было показано, что нелинейная оптимизационная задача для вычисления меры эффективности может быть сведена к решению пары линейных двойственных задач. Полученная пара линейных задач имеет ограничения типа конуса, поэтому такие модели называются моделью с постоянным эффектом масштаба. Доказывается теорема о взаимосвязи решений входной и выходной моделей с постоянным эффектом масштаба. Строится пример построения изокванты для модели с постоянным эффектом масштаба для трехмерного случая.

3. Определение и построение множества производственных возможностей

В данном разделе определяется множество производственных возможностей Т, в котором могут функционировать реальные или гипотетические производственные объекты, на основе эмпирических постулатов в соответствии с неоклассическим подходом. Множество производственных возможностей строится для модели с постоянным эффектом масштаба, которая также называется CCR, по фамилии авторов Charnes, Cooper, Rhodes. Доказываются две теоремы о соответствии множества Т и множества решений оптимизационной задачи, полученной для вычисления меры эффективности.

4. Модели с переменным эффектом масштаба

Выписывается прямая и двойственная оптимизационная задача для модели BCC. Даются определения эффективности и слабой эффективности для данной модели. Вводятся постулаты множества производственных возможностей Т для данной модели, и на их основе алгебраически выписывается множество Т. Доказывается, что в данной модели двойственные решения определяют опорные гиперплоскости к множеству Т. Описываются модели с переменным эффектом масштаба, ориентированные по выходу.

5. Эффект масштаба в классической экономической теории. Оптимизационные модели для вычисления эффекта масштаба в моделях ВСС

Эффект масштаба является важнейшим качественным показателем, который характеризует деятельность сложного объекта. По существу, он определяет на каком участке своего развития находится экономический объект – интенсивном, экстенсивном или оптимальном. Поэтому этот показатель играл важную роль в классической экономической теории. Сложность нахождения эффекта масштаба в неоклассическом подходе заключается в том, что эффективная гиперповерхность в явном виде не задана. В данном разделе рассматриваются критерии и оптимизационные задачи для нахождения эффекта масштаба в моделях BCC.

6. Теоремы об эквивалентности множества эффективных точек по аддитивной модели, по Парето и по модели ВСС

Понятие эффективности по Парето широко используется в многокритериальной оптимизации, в математической экономике и системном анализе. Эффективность по Парето позволяет выделить в множестве производственных возможностей эффективные объекты, т.е. объекты, которые функционируют оптимально при заданных условиях. Аддитивные модели дают возможность выделить эффективные объекты по Парето и по моделям BCC.

7. Анализ эффективности объектов с некоторыми отрицательными параметрами

В классической методологии АСФ предполагалось, что все параметры производственных объектов принимают неотрицательные значения. Однако, в реальной экономике это условие часто не выполняется. Например, банки или нефтяные компании могут иметь отрицательную прибыль. В данном разделе делаются необходимые построения для учета отрицательных параметров в методологии АСФ.

8. Алгоритмы нахождения минимального расстояния между объектом и множеством производственных возможностей

В данном разделе рассматриваются алгоритмы нахождения минимального расстояния между объектом и множеством производственных возможностей по различным нормам.

9. Зоны устойчивости. Алгоритмы для построения зон устойчивости

В данном разделе строятся и обосновываются алгоритмы нахождения зон устойчивости для различных случаев. Математически такие алгоритмы сводятся к решению ряда оптимизационных задач.

10. Взаимосвязь между множествами слабо эффективных точек по моделям ВСС

В мировой научной литературе по методологии АСФ долго существовало заблуждение, что множество слабо эффективных точек по входной и выходной модели BCC совпадает с границей множества производственных возможностей. Доказываются достаточные условия того, что объект принадлежит множеству слабо эффективных точек по входной модели BCC и не принадлежит множеству слабо эффективных точек по выходной модели. Приводятся доказываются достаточные условия того, что объект принадлежит множеству слабо эффективных точек по выходной модели и не принадлежит множеству слабо эффективных точек по входной модели.

11. Взаимосвязь между множеством слабо эффективных точек по Парето и множеством граничных точек

В данном разделе доказывается теорема об эквивалентности множества граничных точек и множества слабо эффективных по Парето точек. Доказывается теорема о взаимосвязи слабо эффективных точек по модели BCC и по Парето.

12. Параметрические методы в анализе эффективности сложных систем

Множество производственных возможностей определяется в многомерном пространстве параметров. В силу абстрактного построения такого множества руководителю трудно использовать его при принятии ответственных решений. Но существует реальный способ визуализировать это многомерное множество – это строить различные двумерные сечения множества Т. В данном разделе разрабатываются и обосновываются алгоритмы построения сечений многомерного множества Т. Как оказалось, полученные сечения обобщают хорошо известные функции из классической экономической теории: производственные функции, изокванты, изокосты и т.д.

13. Развитие моделей по анализу деятельности сложных систем

Как уже отмечалось, методология АСФ получила широкое признание в мире и находит применение в самых разных областях человеческой деятельности: от чисто коммерческих до государственных и муниципальных структур. В настоящее время существуют десятки, если не сотни, различных моделей методологии АСФ. В данном разделе рассматриваются тенденции развития методологии АСФ и подробно анализируются следующие модели: модель с возрастающей отдачей от масштаба (IRS); модель с убывающей отдачей от масштаба (DRS); модель с обобщенной отдачей от масштаба (GRS); модель со свободной оболочкой (FDH).

14. Вычисление маргинальных экономических показателей с помощью параметрических оптимизационных методов

С самого начала возникновения методологии АСФ многие исследователи пытались вычислять на ее основе важнейшие маргинальные экономические показатели. Однако функция трансформации (аналог производственной функции для многомерных систем в неоклассической экономической теории) в методологии АСФ в явном виде не задана. Поэтому был предложен ряд непрямых методов для вычисления маргинальных показателей, основанных на решении дополнительных двойственных задач. В данном разделе показано, что для вычисления маргинальных показателей можно использовать те функциональные зависимости, которые получаются с помощью параметрических оптимизационных алгоритмов, таким образом, мы получаем семейство прямых методов.

 

Литература

Основная литература

  1. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сеньков Р.В., Антонов А.В., Володин А.В Анализ эффективности финансовых институтов в экономике переходного периода //Нелинейная динамика и управление. Вып.1. Сборник трудов МГУ и ИСА РАН, под редакцией академиков Емельянова С.В. и Коровина С.К. М.: Физматлит, 2001. С. 363–374.

  2. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Володин А.В., Саблин И.А. Оптимальные и граничные точки в анализе эффективности сложных систем и вычисление экономических показателей //Нелинейная динамика и управление. Вып.2. Сборник трудов МГУ и ИСА РАН, под редакцией академиков Емельянова С.В. и Коровина С.К. М.: Физматлит, 2002. С. 279–300.

  3. Кривоножко В.Е., Дворкович А.В., Уткин О.Б., Жарков И.Д., Патрин М.В, Лычев А.В. Вычисление эластичности и эффекта масштаба в анализе эффективности сложных систем //Нелинейная динамика и управление. Вып.4. Сборник трудов МГУ и ИСА РАН, под редакцией академиков Емельянова С.В. и Коровина С.К. М.: Физматлит, 2005. С.315 –340.

  4. Володин А.В., Кривоножко В.Е., Саблин И.А., Уткин О.Б. Исследование граничных точек и построение параметрических оптимизационных методов в анализе эффективности сложных систем //Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 43, №4, 2003. C. 627–640.

  5. Володин А.В., Кривоножко В.Е., Рыжих Д.А., Уткин О.Б. Построение трехмерных сечений в анализе эффективности сложных многомерных систем на основе параметрических оптимизационных алгоритмов //Журнал вычислительной математики и математической физики. Том 44, №4, 2004. C. 623–639.

 

Дополнительная литература

 

  1. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Volodin A.V. and Sablin I.A. Interpretation of Modeling Results in Data Envelopment Analysis //Managerial Finance, Volume 28, Number 9, 2002, pp. 37–48.

  2. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Volodin A.V., Sablin I.A. and Patrin M.V. Constructions of economic functions and calculations of marginal rates in DEA using parametric optimization methods //Journal of the Operational Research Society, Vol.55, №10, 2004, pp. 1049–1058.

  3. Dvorkovich A.V., Krivonozhko V.E. and Utkin O.B. Modeling of Large-Scale Systems Development //Encyclopedia of Life Support Systems, www.eolss.net, Eolss Publishers, Oxford, 2004, pp. 1–25.

  4. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Volodin A.V. and Sablin I.A. About the structure of boundary points in DEA Journal of the Operational Research Society Vol.56, №12, 2005, pp.1373–1378

  5. Førsund F., Hjalmarsson L., Krivonozhko V.E. and Utkin O.B. Calculation of scale elasticities in DEA models: direct and indirect approaches // Journal of Productivity Analysis Vol.28, №1, 2007, pp.45-56