Аннотация

Курс посвящен изложению как стандартных вопросов теории выбора, так и специального математического аппарата (булевой алгебры, теории неотрицательных матриц), позволяющего сформулировать подходы к новым методам упорядочения вариантов, предложенным в последнее время.

Теоретичесие разделы курса систематически поддерживаются специальными задачами и упражнениями, самостоятельное решение которых позволяет глубже освоить изучаемый материал.

Содержание курса

1. Алгебраический аппарат теории выбора

Булевы алгебры. Определение и свойства бинарных отношений, представление в форме характеристической функции и графа. Выбор по бинарным отношениям. Множества максимальных и наибольших элементов отношения.

2. Основные понятия теории выбора

Функция выбора (ФВ). Алгебраическая форма ФВ. Классификация ФВ по свойству принадлежности подкольцу с заданной системой образующих: необходимые и достаточные условия принадлежности. Разложение в полином Жегалкина и в дизъюнктивную сумму по функциям из системы образующих. Задача группового выбора: постановка, подход К.Эрроу, теорема о невозможности (формулировка).

3. Неотрицательные матрицы и их свойства

Неотрицательные матрицы: разложимость, приведение к нормальной форме. Свойства графов, отвечающих неразложимым и разложимым матрицам. Теорема об элементах степеней неразложимой матрицы. Приведение неотрицательной матрицы к нормальной форме на основе перестановки рядов.

4. Самосогласованный выбор

Описание задачи группового выбора на основе матрицы переходов. Правило единогласия и процедура нормального разложения этой матрицы. Случай профиля из антисимметричных и связных отношений. Специальное правило самосогласованного выбора (ПСВс). Игровая процедура обоснования этого правила. Обобщение ПСВс на случай произвольных связных отношений: правило самосогласованного выбора (ПСВ), z-нормализация исходной информации.

5. Приложения: задачи группового выбора, упорядочение участников спортивных турниров, ранжирование страниц Веба.

Выбор по мультиотношениям. Приложение к задаче упорядочения участников шахматного турнира. Правило упорядочения в поисковой системе Google: критерий PageRank и правило самосогласованного выбора.

Литература

Основная литература

1. Левченков В.С. Элементы эргодической теории с приложениями к проблемам выбора. II. Приложение эргодической теории к задачам выбора (учебное пособие). ВМиК МГУ, 1997.

2. Левченков В.С. Новые методы теории выбора. М.: МАКС Пресс, 2007, 95стр.

Дополнительная литература

1. Левченков В.С. Два принципа рациональности в теории выбора: Борда против Кондорсе (учебное пособие для студентов). - М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002, 264c.