Обязательный кафедральный курс для студентов 3 курса (308 группа), читается в 6 семестре.
Лекции – 64 часа.
Экзамен в 6 семестре.
За курс отвечает кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления.
Автор программы: профессор Левченков В.С.
Лектор 2007/08 уч.года: профессор Левченков В.С.

Аннотация

Курс посвящен изложению основных разделов эргодической теории на примере дискретных динамических систем. Уделено специальное внимание приложениям этой теории к проблемам выбора.

Содержание курса

Лекции, 6 семестр

1. Дополнительные сведения из булевой алгебры, теория меры и функционального анализа

Тема 1 содержит основной набор сведений из теории меры и интеграла Лебега и имеет целью изложение в сжатой форме того аппарата, который необходим для введения центрального понятия эргодической теории – пространства с мерой и его автоморфизмов и эндоморфизмов.

2. Пространства с мерой. Автоморфизмы, эндоморфизмы

Тема 2 дает определение автоморфизмов (эндоморфизмов) пространств с мерой и показывает их связь с динамическими системами с дискретным временем (каскадами).

3. Эргодичность и перемешивание

Тема 3 вводит в рассмотрение существенные инвариантные свойства динамических систем: эргодичностъ и перемешивание. Центром изложения является эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина.

4. Метрическая энтропия динамических систем

Тема 4 вводит новую характеристику ДС – их метрическую энтропию. Эта величина позволяет оценивать сложность ДС и может быть явно вычислена для автоморфизма Бернулли и автоморфизма Маркова. Показывается что энтропия – метрический инвариант ДС.

5. Символическая динамика

Тема 5 посвящена одной из центральных тем курса: в ней излагается символическая динамика. Вводится понятие символической модели ДС, позволяющее сопоставить произвольной ДС ее символический образ – отображение сдвига в пространстве бесконечных последовательностей над конечным алфавитом. На основе символической модели ДС вводится понятие топологической энтропии и формулируется теорема Динабурга-Гудмена, показывающая связь метрической и топологической энтропии.

6. Энтропийная теория топологических Марковских цепей

Тема 6 посвящена детальному изучению топологических марковских цепей (ТМЦ). Ее изложение предваряется важным математическим дополнением из теории неотрицательных матриц: формулируется и доказывается теорема Фробениуса-Перрона, выводятся эффективные следствия о поведении спектра и собственных векторов таких матриц. Эта теорема позволяет вычислить топологическую энтропию ТМЦ и найти меру максимальной энтропии для нее, что дает возможность эффективно описать частотные характеристики траекторий ТМЦ.

7. Приложения эргодической теории к задачам выбора

Тема 7 содержит приложения эргодической теории в разнообразных задачах выбора. В этой теме излагаются основные концепции и теоремы теории выбора и показывается, что эргодическая теория позволяет строить новые эффективные правила выбора, тонко учитывающие особенности информации.

Литература

Основная литература

1. Левченков В.С. Элементы эргодической теории с приложениями к проблемам выбора. I. Введение в эргодическую теорию (учебное пособие). ВМиК МГУ, 1997.

2. Левченков В.С. Элементы эргодической теории с приложениями к проблемам выбора. II. Приложение эргодической теории к задачам выбора (учебное пособие). ВМиК МГУ, 1997.

3. Левченков В.С. Два принципа рациональности в теории выбора: Борда против Кондорсе (учебное пособие для студентов). - М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002, 264c.

4. Левченков В.С. Новые методы теории выбора. М.: МАКС Пресс, 2007, 95стр.

Дополнительная литература

1. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969.

2. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. Изд. Ереванского университета, Ереван, 1973.

3. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

4. Kаток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. Издательство “Факториал”, Москва. 1999.